La carte grise collection
Première chose, si le véhicule est déjà immatriculé en carte grise collection ou ne possède pas de carte grise, vous êtes obligé de l'immatriculer sous cette forme.
Si le véhicule est sous carte grise normale et que vous souhaitez passer en carte grise collection, celui-ci doit remplir 2 conditions : avoir plus de 25 ans et avoir passé un contrôle technique de moins de 6 mois sans contre-visite (avantage : il n'y aura plus de contrôle technique à passer par la suite).

Ensuite, il faut faire la demande à la FFVE (pas obligatoire pour les véhicules possédant déjà une carte grise normale). Elle vous envoie un formulaire vous demandant les renseignements de votre véhicule. Après l'avoir renvoyé avec le règlement demandé (environ 37€), la FFVE vous fournit une attestation.
Reste plus qu'à aller à la Préfecture de votre département pour faire la carte grise.

La carte grise collection présente quelques petits inconvénients.
Vous ne pourrez circuler que dans votre département et les départements limitrophes. Vous ne pourrez aller au-delà seulement pour vous rendre à une manifestation. Pour cela, il faudra remplir et avoir sur vous le carnet de déclaration de circulation (25€, disponible seulement auprès de la FFVE).
Enfin, si votre véhicule est un utilitaire, vous ne pourrez plus l'utiliser en tant que tel.

La carte grise normale
La carte grise normale présente l'avantage de pouvoir rouler partout... dans le monde. Bon, c'est exagéré mais en théorie, c'est possible. En plus, pour la revente du véhicule, c'est plus facile, l'acheteur a l'assurance d'avoir un véhicule en bon état. Pourquoi ? parce que la carte grise normale vous oblige, comme tout autre véhicule, à passer le contrôle technique tous les 2 ans.
Si le véhicule est en carte grise collection et vous souhaitez le passer en carte grise normale, vous devez faire les mêmes démarches que pour un véhicule importer de l'étranger.

Si votre véhicule est en rénovation, il est possible d'avoir une carte grise pour véhicule non roulant. Dans ce cas, elle sera marquée d'un "R".

Le passage à la Préfecture
Pour les démarches à la préfecture, le plus simple est de vous rendre à cette page. Tout y est expliqué.